Как рассчитать доверительный интервал

29.06.2025 в 0:51

Доверительный интервал - это диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит неизвестный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета доверительных интервалов для различных типов данных.

Основные понятия

• Доверительная вероятность - вероятность, с которой интервал содержит истинное значение параметра
• Точечная оценка - выборочное значение оцениваемого параметра
• Предельная ошибка - половина ширины доверительного интервала

Формула общего вида

Доверительный интервал = Точечная оценка ± (Критическое значение × Стандартная ошибка)

Расчет для среднего значения (нормальное распределение)

При известном σ (стандартном отклонении)

При неизвестном σ (используем t-распределение)

1. Вычислить выборочное среднее (x̄)
2. Рассчитать выборочное стандартное отклонение (s)
3. Определить t-значение по таблице Стьюдента
4. Вычислить интервал: x̄ ± t×(s/√n)

Расчет для доли признака

• Вычислить выборочную долю: p̂ = k/n
• Определить z-значение для заданного уровня доверия
• Рассчитать стандартную ошибку: SE = √(p̂(1-p̂)/n)
• Вычислить интервал: p̂ ± z×SE

Выбор критического значения

Пример расчета для среднего

1. Дано: n=100, x̄=50, s=10, доверительная вероятность=95%
2. Находим t-значение для 99 степеней свободы ≈ 1.984
3. Вычисляем стандартную ошибку: 10/√100 = 1
4. Рассчитываем интервал: 50 ± 1.984×1 = [48.016, 51.984]

Программные средства расчета

• Excel: функции ДОВЕРИТ.НОРМ() и ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
• R: t.test(), prop.test()
• Python: scipy.stats.t.interval(), statsmodels.stats.proportion.proportion_confint

Факторы, влияющие на ширину интервала

Типичные ошибки при расчете

• Использование z-распределения при малых выборках
• Некорректный расчет стандартной ошибки
• Неверная интерпретация доверительной вероятности
• Игнорирование условий применимости формул

Расчет доверительного интервала требует понимания типа данных, распределения и объема выборки. Правильное применение формул позволяет получить статистически обоснованные оценки параметров генеральной совокупности.