Доказательство делимости суммы трех последовательных натуральных чисел на 3

28.06.2025 в 20:30

Рассмотрим важное свойство трех последовательных натуральных чисел: их сумма всегда делится на 3. Докажем это утверждение несколькими способами.

Алгебраическое доказательство

1. Пусть первое число равно n (n ∈ ℕ)
2. Тогда три последовательных числа можно записать как:
   • n
   • n + 1
   • n + 2
3. Их сумма S = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
4. Очевидно, что 3(n + 1) делится на 3

Доказательство через среднее арифметическое

Примеры

Рассмотрим конкретные случаи:

• 5 + 6 + 7 = 18 (18 ÷ 3 = 6)
• 10 + 11 + 12 = 33 (33 ÷ 3 = 11)
• 100 + 101 + 102 = 303 (303 ÷ 3 = 101)

Обобщение

Это свойство можно расширить:

1. Для любого нечетного количества последовательных чисел их сумма делится на это количество
2. Для трех последовательных чисел сумма также делится на:
   • 1 (тривиально)
   • 3 (как доказано)
   • 6, если первое число четное

Геометрическая интерпретация

Три последовательных числа можно представить как:

При сложении образуется три одинаковых столбца плюс три точки, что визуально демонстрирует делимость на 3.

Применение

Данное свойство используется:

• В теории чисел
• При решении олимпиадных задач
• В алгоритмах проверки делимости
• В математических головоломках

Заключение

Мы доказали, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел всегда кратна трем. Это простое, но важное свойство натурального ряда чисел находит применение в различных разделах математики.