Футболки и топы с доставкой

Доказательство делимости суммы трех последовательных натуральных чисел на 3

Дата публикации

28.06.2025 в 20:30

Рассмотрим важное свойство трех последовательных натуральных чисел: их сумма всегда делится на 3. Докажем это утверждение несколькими способами.

Алгебраическое доказательство

  1. Пусть первое число равно n (n ∈ ℕ)
  2. Тогда три последовательных числа можно записать как:
    • n
    • n + 1
    • n + 2
  3. Их сумма S = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
  4. Очевидно, что 3(n + 1) делится на 3

Доказательство через среднее арифметическое

ШагОбоснование
1. Для трех последовательных чисел среднее число равно среднему арифметическому(a + b + c)/3 = b
2. Следовательно, сумма S = 3bГде b - среднее число
3. 3b явно делится на 3Что и требовалось доказать

Примеры

Рассмотрим конкретные случаи:

  • 5 + 6 + 7 = 18 (18 ÷ 3 = 6)
  • 10 + 11 + 12 = 33 (33 ÷ 3 = 11)
  • 100 + 101 + 102 = 303 (303 ÷ 3 = 101)

Обобщение

Это свойство можно расширить:

  1. Для любого нечетного количества последовательных чисел их сумма делится на это количество
  2. Для трех последовательных чисел сумма также делится на:
    • 1 (тривиально)
    • 3 (как доказано)
    • 6, если первое число четное

Геометрическая интерпретация

Три последовательных числа можно представить как:

n
n+1● ●
n+2● ● ●

При сложении образуется три одинаковых столбца плюс три точки, что визуально демонстрирует делимость на 3.

Применение

Данное свойство используется:

  • В теории чисел
  • При решении олимпиадных задач
  • В алгоритмах проверки делимости
  • В математических головоломках

Заключение

Мы доказали, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел всегда кратна трем. Это простое, но важное свойство натурального ряда чисел находит применение в различных разделах математики.

Похожие статьи

Ознакомьтесь с другими похожими статьями, которые могут быть вам полезны.

Погашение доли участника в обществе с ограниченной ответственностью регулируется статьей 23 Федерального закон…

Досрочное продление тарифного плана МТС позволяет избежать перехода на стандартные условия после окончания опл…

Программа лояльности СберСпасибо позволяет клиентам Сбербанка и партнеров получать бонусные баллы за покупки и…

Сеть магазинов Fix Price предлагает широкий ассортимент косметической продукции, включая накладные ресницы по …

Слова "имущество" и "иммунитет" часто вызывают вопросы в написании и употреблении. Рассмотрим различия между э…

Цифровая карта лояльности Пятерочки позволяет получать скидки и бонусы без физической пластиковой карты. Рассм…

Налоговая база по налогу на имущество определяется в соответствии с Налоговым кодексом РФ и зависит от вида им…

Зачарованное золотое яблоко (Enchanted Golden Apple) - один из самых ценных и мощных предметов в игре Minecraf…

Замена просроченного паспорта является обязательной процедурой для граждан РФ. Рассмотрим пошаговый процесс во…


Новинки